दिन-23-अवकल समीकरण
अध्याय सारांश: अवकल समीकरण
परिचय
यह अध्याय अवकल समीकरणों (DEs) पर केंद्रित है, जो किसी फ़ंक्शन के अवकलजों वाले गणितीय समीकरण हैं। ये वास्तविक विश्व की घटनाओं जैसे गति, वृद्धि और क्षय के मॉडलिंग में मौलिक हैं। यह अध्याय DEs की प्रमुख अवधारणाओं, समाधान तकनीकों और अनुप्रयोगों को शामिल करता है, जिसमें सैद्धांतिक और व्यावहारिक संदर्भों में उनकी भूमिका पर जोर दिया गया है।
मुख्य अवधारणाएँ
1. अवकल समीकरण की कोटि और घात
- कोटि: समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज (जैसे, द्वितीय-कोटि DEs में $ \frac{d^2y}{dx^2} $ शामिल होता है)।
- घात: तर्कसंगत करने के बाद उच्चतम अवकलज की घात (जैसे, $ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + y = 0 $ एक प्रथम-कोटि, द्वितीय-घात DE है)।
2. अवकल समीकरणों का निर्माण
- मनमाना स्थिरांकों का निष्कासन: $ n $ मनमाना स्थिरांक वाले वक्रों के परिवार के लिए, समीकरण को $ n $ बार अवकलित करें और स्थिरांकों को हटाकर एक DE बनाएं।
- उदाहरण: परिवार $ y = Cx + D $ से $ \frac{d^2y}{dx^2} = 0 $ प्राप्त होता है।
3. हलों के प्रकार
- सामान्य हल: मनमाना स्थिरांकों वाले सभी संभावित हल शामिल हैं (जैसे, $ y = C e^{x} $)।
- विशिष्ट हल: स्थिरांकों को मान प्रदान करके प्राप्त एक विशेष हल (जैसे, $ y = 2e^{x} $)।
समाधान विधियाँ
1. चरों का पृथक्करण
- उन समीकरणों के लिए उपयोगी जहाँ $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $।
- पुनर्व्यवस्थित करें: $ \frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx $, फिर दोनों पक्षों को समाकलित करें।
- उदाहरण: $ \frac{dy}{dx} = xy $ हल करें → $ \int \frac{1}{y} dy = \int x dx $ → $ \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C $.
2. समाकलन गुणक (रैखिक DEs)
- $ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $ रूप के समीकरणों के लिए:
- एक समाकलन गुणक $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $ से गुणा करें।
- समीकरण यथार्थ बन जाता है: $ \mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x) $।
- $ y $ ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को समाकलित करें।
3. समघात समीकरण
- एक DE समघात है यदि इसे $ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right) $ के रूप में लिखा जा सकता है।
- प्रतिस्थापन $ v = \frac{y}{x} $ का उपयोग करें, इसलिए $ y = vx $ और $ \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} $।
- परिणामी वियोज्य समीकरण को हल करें।
4. यथार्थ समीकरण
- एक DE $ M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 $ यथार्थ है यदि $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $।
- एक विभव फ़ंक्शन $ \phi(x,y) $ खोजें जैसे कि $ \frac{\partial \phi}{\partial x} = M $ और $ \frac{\partial \phi}{\partial y} = N $।
प्रमेय और गुण
- अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय: एक प्रथम-कोटि DE $ \frac{dy}{dx} = f(x,y) $ प्रारंभिक शर्त $ y(x_0) = y_0 $ के साथ $ (x_0, y_0) $ के पड़ोस में एक अद्वितीय हल रखता है, यदि $ f $ और $ \frac{\partial f}{\partial y} $ सतत हैं।
- रैखिकता: रैखिक DEs के हलों को विशिष्ट और समघात हलों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
उदाहरण और अनुप्रयोग
-
गति संबंधी समस्याएँ:
- गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरता हुआ वस्तु: $ \frac{d^2y}{dt^2} = -g $।
- हल: $ y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2 $।
-
जनसंख्या वृद्धि:
- चरघातांकी वृद्धि: $ \frac{dy}{dt} = ky $, हल $ y(t) = y_0 e^{kt} $।
-
रासायनिक अभिक्रियाएँ:
- दर नियम जैसे $ \frac{dy}{dt} = -ky $ क्षय प्रक्रियाओं को मॉडल करते हैं।
अवधारणाओं के बीच संबंध
- निर्माण और समाधान: वक्रों के परिवार (जैसे, वृत्त) से DE बनाने में स्थिरांकों को हटाना शामिल है, जबकि DE को हल करने से परिवार का पुनर्निर्माण होता है।
- समाधान विधियाँ: चरों का पृथक्करण और समाकलन गुणक बीजगणितीय तकनीकें हैं, जबकि समघात और यथार्थ विधियाँ प्रतिस्थापन या संरचना पर निर्भर करती हैं।
- अनुप्रयोग: DEs भौतिकी, जीव विज्ञान और इंजीनियरिंग में अमूर्त गणित को जोड़ते हैं, जिससे गतिशील प्रणालियों की भविष्यवाणी संभव होती है।
निष्कर्ष
यह अध्याय अवकल समीकरणों की मौलिक समझ प्रदान करता है, जिसमें वास्तविक विश्व की प्रणालियों के मॉडलिंग में उनकी भूमिका पर जोर दिया गया है। मुख्य बिंदु निम्नलिखित हैं:
- DEs के निर्माण और वर्गीकरण (कोटि, घात) में निपुणता।
- रैखिक, समघात और यथार्थ समीकरणों को मानक तकनीकों का उपयोग करके हल करने में कौशल।
- वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग संदर्भों में DEs के महत्व को पहचानना।
सिद्धांत को व्यवहार से जोड़कर, यह अध्याय शिक्षार्थियों को परिवर्तन की दरों से जुड़ी जटिल समस्याओं का विश्लेषण और समाधान करने के लिए तैयार करता है।
अभ्यास प्रश्न
#### परवलयों के कुटुम्ब का अवकल समीकरण, जिसका नाभि मूलबिंदु पर है और $X$-अक्ष को अक्ष माना गया है, है
1. [ ] $\displaystyle y (\dfrac{d y}{d x})^{2}+4 x (\dfrac{d y}{d x})=4 y$
2. [x] $\displaystyle y (\dfrac{d y}{d x})^{2}=2 x (\dfrac{d y}{d x})-y$
3. [ ] $\displaystyle y (\dfrac{d y}{d x})^{2}+y=2 x y (\dfrac{d y}{d x})$
4. [ ] $\displaystyle y (\dfrac{d y}{d x})^{2}+2 x y (\dfrac{d y}{d x})+y=0$
#### अवकल समीकरण जिसका हल $x^{2}+y^{2}+2 a x+2 b y+c=0$ है, जहाँ $a, b, c$ मनमाना स्थिरांक हैं, है
1. [ ] $3 y _1 y _2-(1+y _1^{2}) y _3=0$
2. [ ] $3 y _1^{2} y _2-(1+y _1^{2}) y _3=0$
3. [ ] $3 y _1 y _2^{2}+(1+y _1^{2}) y _3=0$
4. [x] $3 y _1 y _2^{2}-(1+y _1^{2}) y _3=0$
#### यदि $x d y=y(d x+y d y), y(1)=1$ और $y(x)>0$ तब $y(-3)$ का मान है
1. [x] 3
2. [ ] 2
3. [ ] 1
4. [ ] 0
#### यदि $\dfrac{d y}{d x}=y+3>0$ और $y(0)=2$, तो $y(\log 2)$ बराबर है
1. [ ] 5
2. [ ] 13
3. [ ] -2
4. [x] 7
#### अवकल समीकरण $\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\sqrt{1-y^{2}}}{y}$ वृत्तों के कुटुम्ब को निर्धारित करता है, जिनके
1. [ ] परिवर्ती त्रिज्या और $(0,1)$ पर एक निश्चित केंद्र है
2. [ ] परिवर्ती त्रिज्या और $(0,-1)$ पर एक निश्चित केंद्र है
3. [x] निश्चित त्रिज्या 1 और $X$-अक्ष के अनुदिश परिवर्ती केंद्र है
4. [ ] निश्चित त्रिज्या 1 और $Y$-अक्ष के अनुदिश परिवर्ती केंद्र है
#### यदि अवकल समीकरण $\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{a x+3}{2 y+f}$ का हल एक वृत्त को निरूपित करता है, तो $a$ का मान है
1. [ ] 2
2. [x] -2
3. [ ] 3
4. [ ] -4
#### अवकल समीकरण $y-x \dfrac{d y}{d x}=y^{2}+\dfrac{d y}{d x}$ का हल है
1. [ ] $c y=(1-x)(1-y)$
2. [ ] $c x=(1+x)(1-y)$
3. [x] $c y=(1+x)(1-y)$
4. [ ] $c x=(1-x)(1+y)$
#### समीकरण $\ln (\dfrac{d y}{d x})=a x+b y$ का हल है
1. [x] $a e^{-b y}+b e^{a x}+c=0$
2. [ ] $a e^{b y}+b e^{a x}+c=0$
3. [ ] $a e^{b y}+b e^{-a x}+c=0$
4. [ ] उपर्युक्त में से कोई नहीं
#### अवकल समीकरण $ \dfrac{d y}{d x}=e^{x-y}+x^{2} e^{-y} \text { है } $ का हल
1. [x] $e^{y}=e^{x}+\dfrac{x^{3}}{3}+c$
2. [ ] $e^{y}=e^{x}+2 x+c$
3. [ ] $e^{y}=e^{x}+x^{3}+c$
4. [ ] $y=e^{x}+c$
#### यदि $(2+\sin x) \dfrac{d y}{d x}+(y+1) \cos x=0$ और $y(0)=1$, तो $y (\dfrac{\pi}{2})$ बराबर है
1. [x] $\dfrac{1}{3}$
2. [ ] $\dfrac{4}{3}$
3. [ ] $-\dfrac{1}{3}$
4. [ ] $\dfrac{-2}{3}$
#### यदि एक वक्र बिंदु $(2, \dfrac{7}{2})$ से गुजरता है और उस पर किसी बिंदु $(x, y)$ पर प्रवणता $(1-\dfrac{1}{x^{2}})$ है, तो वक्र पर उस बिंदु की कोटि, जिसका भुज -2 है, है
1. [x] $-\dfrac{3}{2}$
2. [ ] $\dfrac{3}{2}$
3. [ ] $\dfrac{5}{2}$
4. [ ] $-\dfrac{5}{2}$
#### समीकरण $(x+y)^{2} \dfrac{d y}{d x}=4, y(0)=0$ का हल है
1. [x] $y=2 \tan ^{-1} (\dfrac{x+y}{2})$
2. [ ] $y=4 \tan ^{-1} \dfrac{x+y}{4}$
3. [ ] $y=4 \tan ^{-1} (\dfrac{x+y}{2})$
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
#### $\dfrac{d y}{d x}+1=e^{x+y}$ का हल है
1. [x] $e^{-(x+y)}+x+c=0$
2. [ ] $e^{-(x+y)}-x+c=0$
3. [ ] $e^{x+y}+x+c=0$
4. [ ] $e^{x+y}-x+c=0$
#### समीकरण $\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{f(\dfrac{y}{x})}{f^{\prime}(\dfrac{y}{x})}$ का हल है
1. [ ] $|f(\dfrac{y}{x})|=c|x|, \quad c \in R$
2. [ ] $|f(\dfrac{y}{x})|=|x|+c, c>0$
3. [x] $|f(\dfrac{y}{x})|=c|x|, c>0$
4. [ ] उपर्युक्त में से कोई नहीं
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