दिन-19-अनिश्चित समाकलन
अध्याय सारांश: अनिश्चित समाकलन
परिचय
यह अध्याय अनिश्चित समाकलन पर केंद्रित है, जो अवकलन की विलोम प्रक्रिया है। यह समाकलन की परिभाषा, गुणधर्म और गणना के तरीकों का अन्वेषण करता है, जो अवकलन और समाकलन के बीच संबंध पर जोर देता है। यह अध्याय कैलकुलस के मौलिक प्रमेय जैसे महत्वपूर्ण प्रमेयों का भी परिचय देता है, जो निश्चित और अनिश्चित समाकलन के बीच के अंतर को पाटता है।
मुख्य अवधारणाएँ और परिभाषाएँ
1. अनिश्चित समाकलन
- परिभाषा: एक फलन $ f(x) $ का अनिश्चित समाकलन एक फलन $ F(x) $ है जिसके लिए $ F’(x) = f(x) $ है। इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:
$$ \int f(x) , dx = F(x) + C $$
जहाँ $ C $ समाकलन का स्थिरांक है। - प्रतिअवकलज: $ f(x) $ से $ F(x) $ खोजने की प्रक्रिया को प्रतिअवकलन कहा जाता है।
2. कैलकुलस का मौलिक प्रमेय
- कथन: यदि $ F(x) $, $ f(x) $ का प्रतिअवकलज है, तो:
$$ \int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a) $$
यह प्रमेय अवकलन और समाकलन को जोड़ता है, जो दर्शाता है कि $[a, b]$ पर $ f(x) $ का निश्चित समाकलन इसके प्रतिअवकलज के अंत बिंदुओं पर मानों का अंतर है।
महत्वपूर्ण सूत्र और गुणधर्म
मूल समाकलन सूत्र
- शक्ति नियम:
$$ \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$ - घातीय फलन:
$$ \int e^x , dx = e^x + C, \quad \int a^x , dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $$ - लघुगणकीय फलन:
$$ \int \frac{1}{x} , dx = \ln |x| + C $$ - त्रिकोणमितीय फलन:
$$ \int \sin x , dx = -\cos x + C, \quad \int \cos x , dx = \sin x + C $$ - प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन:
$$ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} , dx = \sin^{-1} x + C, \quad \int \frac{1}{1 + x^2} , dx = \tan^{-1} x + C $$
समाकलन की रैखिकता
- योग नियम:
$$ \int [f(x) + g(x)] , dx = \int f(x) , dx + \int g(x) , dx $$ - स्थिरांक गुणक नियम:
$$ \int c \cdot f(x) , dx = c \cdot \int f(x) , dx $$
समाकलन तकनीकें
1. प्रतिस्थापन विधि
- उद्देश्य: समाकल्य के एक भाग को एक फलन $ u(x) $ से प्रतिस्थापित करके समाकलन को सरल बनाना।
- चरण:
- मान लें $ u = g(x) $, $ du = g’(x) , dx $ की गणना करें।
- समाकलन को $ u $ के संदर्भ में पुनः लिखें।
- समाकलन करें और वापस प्रतिस्थापित करें।
- उदाहरण:
$$ \int 2x \cos(x^2) , dx \quad \text{(मानें } u = x^2, , du = 2x , dx\text{)} $$
2. खंडशः समाकलन
- सूत्र:
$$ \int u , dv = uv - \int v , du $$
जो अवकलन के गुणनफल नियम से व्युत्पन्न है। - प्रयोग स्थल: फलनों के गुणनफल से जुड़े समाकलनों के लिए (जैसे बहुपद × घातीय)।
3. आंशिक भिन्न
- उद्देश्य: तर्कसंगत फलनों को समाकलन के लिए सरल भिन्नों में विघटित करना।
- चरण:
- हर का गुणनखंड करें।
- भिन्न को सरल भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त करें।
- प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन करें।
- उदाहरण:
$$ \int \frac{1}{x^2 - 1} , dx \quad \text{(विघटित करें } \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)}\text{ में)} $$
अनुप्रयोग और समस्या समाधान
उदाहरण समस्याएँ
-
प्रतिस्थापन:
- समस्या: $ \int \frac{e^x}{1 + e^x} , dx $
- समाधान: मानें $ u = 1 + e^x $, $ du = e^x dx $, जिससे $ \ln|1 + e^x| + C $ प्राप्त होता है।
-
खंडशः समाकलन:
- समस्या: $ \int x \ln x , dx $
- समाधान: मानें $ u = \ln x $, $ dv = x dx $, जिससे $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $ प्राप्त होता है।
-
आंशिक भिन्न:
- समस्या: $ \int \frac{3x + 2}{x^2 + 3x + 2} , dx $
- समाधान: हर को $ (x+1)(x+2) $ के रूप में गुणनखंडित करें, विघटित करें, और समाकलित करें।
अवधारणाओं के बीच संबंध
- मौलिक प्रमेय: अनिश्चित समाकलन (प्रतिअवकलज) को निश्चित समाकलन से जोड़ता है।
- प्रतिस्थापन और खंडशः समाकलन: अवकलन नियमों (श्रृंखला और गुणनफल नियम) से व्युत्पन्न।
- आंशिक भिन्न: समाकलन से पूर्व तर्कसंगत फलनों को सरल बनाने का एक उपकरण, जिसे अक्सर प्रतिस्थापन के साथ प्रयोग किया जाता है।
निष्कर्ष
यह अध्याय कैलकुलस में अनिश्चित समाकलन की आधारभूत भूमिका पर जोर देता है। प्रतिस्थापन, खंडशः समाकलन, और आंशिक भिन्न जैसी तकनीकों में निपुणता प्राप्त करके, छात्र जटिल समाकलनों को हल कर सकते हैं। कैलकुलस का मौलिक प्रमेय अवकलन और समाकलन को एकीकृत करता है, सभी विधियों के लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है। इन अवधारणाओं को समझने से शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित दोनों में प्रभावी समस्या समाधान संभव होता है।
अभ्यास प्रश्न
#### $ \displaystyle \int \Big \lbrace{\frac{(\log x-1)}{1+(\log x)^{2}}}\Big \rbrace^{2} d x$ बराबर है
1. [x] $\frac{x}{(\log x)^{2}+1}+C$
2. [ ] $\frac{x e^{x}}{1+x^{2}}+C$
3. [ ] $\frac{x}{x^{2}+1}+C$
4. [ ] $\frac{\log x}{(\log x)^{2}+1}+C$
#### यदि $\displaystyle \int \sqrt{x+\sqrt{x^{2}+5}} d x=P \\{x+\sqrt{x^{2}+5}\\}^{\frac{3}{2}}$ $+\frac{Q}{\sqrt{x +\sqrt{x^{2}+5}}}+C$, तो $3 P Q$ का मान है
1. [ ] -1
2. [ ] -4
3. [ ] -3
4. [x] -5
#### $\displaystyle \int \frac{d x}{\cos x-\sin x}$ बराबर है
1. [ ] $\frac{1}{\sqrt{2}} \log |\tan (\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8})|+C$
2. [ ] $\frac{1}{\sqrt{2}} \log |(\cot \frac{x}{2})|+C$
3. [ ] $\frac{1}{\sqrt{2}} \log |(\tan \frac{x}{2}-\frac{3 \pi}{8})|+C$
4. [x] $\frac{1}{\sqrt{2}} \log |\tan (\frac{x}{2}+\frac{3 \pi}{8})|+C$
#### $\displaystyle \int \frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x$ बराबर है
1. [ ] $\sin 2 x+C$
2. [x] $-\frac{1}{2} \sin 2 x+C$
3. [ ] $\frac{1}{2} \sin 2 x+C$
4. [ ] $-\sin 2 x+C$
#### $\displaystyle \int \frac{(\sqrt[3]{x+\sqrt{2-x^{2}}})(\sqrt[6]{1-x \sqrt{2-x^{2}}})}{\sqrt[3]{1-x^{2}}} d x ; x \in(0,1)$ बराबर है
1. [x] $2^{\frac{1}{6}} x+C$
2. [ ] $2^{\frac{1}{12}} x+C$
3. [ ] $2^{\frac{1}{3}} x+C$
4. [ ] इनमें से कोई नहीं
#### $\displaystyle \int \Big(\frac{\cos 6 x+6 \cos 4 x+15 \cos 2 x+10}{10 \cos ^{2} x+5 \cos x \cos 3 x+\cos x \cos 5 x}\Big) d x=f(x)+C$, तो $f(10)$ बराबर है
1. [x] 20
2. [ ] 10
3. [ ] $2 \sin 10$
4. [ ] $2 \cos 10$
#### समाकलन $\displaystyle \int \frac{2 x^{12}+5 x^{9}}{(x^{5}+x^{3}+1)^{3}} d x$ बराबर है
1. [ ] $\frac{-x^{5}}{(x^{5}+x^{3}+1)^{2}}+C$
2. [x] $\frac{x^{10}}{2(x^{5}+x^{3}+1)^{2}}+C$
3. [ ] $\frac{x^{5}}{2(x^{5}+x^{3}+1)^{2}}+C$
4. [ ] $\frac{-x^{10}}{2(x^{5}+x^{3}+1)^{2}}+C$
#### $\displaystyle \int \frac{x^{2}-1}{x^{3} \sqrt{2 x^{4}-2 x^{2}+1}} d x$ बराबर है
1. [ ] $\frac{\sqrt{2 x^{4}-2 x^{2}+1}}{x^{2}}+C$
2. [ ] $\frac{\sqrt{2 x^{4}-2 x^{2}+1}}{x}+C$
3. [ ] $\frac{\sqrt{2 x^{4}-2 x^{2}+1}}{2 x}+C$
4. [x] $\frac{\sqrt{2 x^{4}-2 x^{2}+1}}{2 x^{2}}+C$
#### $\displaystyle \int \frac{d x}{(1+x^{2}) \sqrt{p^{2}+q^{2}(\tan ^{-1} x)^{2}}}$ बराबर है
1. [x] $\frac{1}{q} \log [q \tan ^{-1} x+\sqrt{p^{2}+q^{2}(\tan ^{-1} x)^{2}}]+C$
2. [ ] $\log [q \tan ^{-1} x+\sqrt{p^{2}+q^{2}(\tan ^{-1} x)^{2}}]+C$
3. [ ] $\frac{2}{3 q}(p^{2}+q^{2} \tan ^{-1} x)^{\frac{3}{2}}+C$
4. [ ] उपर्युक्त में से कोई नहीं
#### समाकलन $\displaystyle \int \frac{\cos 8 x+1}{\cot 2 x-\tan 2 x} d x=A \cos 8 x+k$, जहाँ $k$ एक स्वेच्छ स्थिरांक है, तो $A$ बराबर है
1. [x] $-\frac{1}{16}$
2. [ ] $\frac{1}{16}$
3. [ ] $\frac{1}{8}$
4. [ ] $-\frac{1}{8}$
#### $\displaystyle \int \frac{(\sin \theta+\cos \theta)}{\sqrt{\sin 2 \theta}} d \theta$ बराबर है
1. [ ] $\log |\cos \theta-\sin \theta+\sqrt{\sin 2 \theta}|$
2. [ ] $\log |\sin \theta-\cos \theta+\sqrt{\sin 2 \theta}|$
3. [x] $\sin ^{-1}(\sin \theta-\cos \theta)+C$
4. [ ] $\sin ^{-1}(\sin \theta+\cos \theta)+C$
#### $\displaystyle \int (\frac{f(x) \cdot g^{\prime}(x)-f^{\prime}(x) \cdot g(x)}{f(x) \cdot g(x)})((\log g(x)-\log f(x)) d x$ बराबर है
1. [ ] $\log (\frac{g(x)}{f(x)})+C$
2. [ ] $\frac{1}{2} (\frac{g(x)}{f(x)})^2$
3. [x] $\frac{1}{2} \Big[\log (\frac{g(x)}{f(x)}){ }\Big]^{2}+C$
4. [ ] $\log (\frac{g(x)}{f(x)})^{2}+C$
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