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अध्ययन नोट्स: अवकलन और सारणिक

विषय सूची (Table of Contents)

1. अवकलन का परिचय (Introduction to Differentiation)
2. अवकलन के मूल नियम (Basic Rules of Differentiation)
3. अवकलन में उन्नत तकनीकें (Advanced Techniques in Differentiation)
4. सारणिक और उनके गुणधर्म (Determinants and Their Properties)
5. सारणिकों के अनुप्रयोग (Applications of Determinants)
6. निष्कर्ष (Conclusion)

1. अवकलन का परिचय (Introduction to Differentiation)

अवकलन कैलकुलस में एक मौलिक अवधारणा है जो किसी फलन के निवेश चर के संबंध में परिवर्तन की दर को मापता है। इसका उपयोग किसी वक्र के दिए गए बिंदु पर ढलान ज्ञात करने के लिए किया जाता है, जो भौतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र जैसे विविध क्षेत्रों में आवश्यक है।

2. अवकलन के मूल नियम (Basic Rules of Differentiation)

2.1 योग और अंतर नियम (Sum and Difference Rule)

यदि $ y = f(x) \pm g(x) $, तब: $$ \frac{dy}{dx} = f’(x) \pm g’(x) $$

2.2 अदिश गुणन नियम (Scalar Multiple Rule)

यदि $ y = c \cdot f(x) $, जहाँ $ c $ एक अचर है, तब: $$ \frac{dy}{dx} = c \cdot f’(x) $$

2.3 गुणनफल नियम (Product Rule)

यदि $ y = f(x) \cdot g(x) $, तब: $$ \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g’(x) + g(x) \cdot f’(x) $$

2.4 भागफल नियम (Quotient Rule)

यदि $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $, तब: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{g(x) \cdot f’(x) - f(x) \cdot g’(x)}{[g(x)]^2}, \quad g(x) \neq 0 $$

3. अवकलन में उन्नत तकनीकें (Advanced Techniques in Differentiation)

3.1 श्रृंखला नियम (Chain Rule)

श्रृंखला नियम का उपयोग संयुक्त फलनों का अवकलन करने के लिए किया जाता है। यदि $ y = f(g(x)) $, तब: $$ \frac{dy}{dx} = f’(g(x)) \cdot g’(x) $$

3.2 अंतर्निहित अवकलन (Implicit Differentiation)

इसका उपयोग तब किया जाता है जब $ y $ को $ x $ के पदों में अंतर्निहित रूप से परिभाषित किया गया हो। दोनों पक्षों का $ x $ के संबंध में अवकलन करें और $ \frac{dy}{dx} $ के लिए हल करें।

3.3 उच्च कोटि के अवकलज (Higher Order Derivatives)

द्वितीय अवकलज, प्रथम अवकलज का अवकलज होता है: $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) $$

4. सारणिक और उनके गुणधर्म (Determinants and Their Properties)

सारणिक एक अदिश मान है जिसे एक वर्ग आव्यूह के अवयवों से परिकलित किया जा सकता है और यह आव्यूह के कुछ गुणों को कोडित करता है। इसे $ \det(A) $ या $ |A| $ से निरूपित किया जाता है।

4.1 सारणिकों के गुणधर्म (Properties of Determinants)

4.2 उपसारणिकों द्वारा प्रसार (Expansion by Minors or Cofactor Expansion)

किसी आव्यूह का सारणिक परिकलित करने के लिए, हम उपसारणिकों और सहखंडों का उपयोग करके किसी पंक्ति या स्तंभ के साथ प्रसार कर सकते हैं।

$$ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot M_{ij} $$

जहाँ $ M_{ij} $ अवयव $ a_{ij} $ का उपसारणिक (minor) है।

5. सारणिकों के अनुप्रयोग (Applications of Determinants)

5.1 रैखिक समीकरणों की प्रणाली का हल (Solving Systems of Linear Equations)

क्रेमर के नियम (Cramer’s Rule) का उपयोग करके, हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्येतर है।

5.2 त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)

बिंदुओं $ (x_1, y_1) $, $ (x_2, y_2) $ और $ (x_3, y_3) $ पर शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{bmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 \ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 \end{bmatrix} \right| $$

5.3 समानांतर षट्फलक का आयतन (Volume of a Parallelepiped)

सदिश $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ और $ \vec{c} $ द्वारा निर्मित समानांतर षट्फलक का आयतन है:

$$ \text{आयतन} = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |\det(A)| \quad \text{जहाँ } A \text{ इन सदिशों द्वारा निर्मित आव्यूह है।} $$

6. निष्कर्ष (Conclusion)

अवकलन फलनों के व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है और यह अनेक वैज्ञानिक तथा इंजीनियरिंग विषयों में आवश्यक है। दूसरी ओर, सारणिक वर्ग आव्यूहों के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करते हैं और इनका उपयोग समीकरणों की प्रणालियों को हल करने तथा ज्यामितीय राशियों की गणना में व्यापक रूप से किया जाता है।

मुख्य पदों की शब्दावली (Glossary of Key Terms)

महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)

अवकलन सूत्र (Differentiation Formulas)

• $ \frac{d}{dx} [x^n] = nx^{n-1} $
• $ \frac{d}{dx} [\sin x] = \cos x $
• $ \frac{d}{dx} [\cos x] = -\sin x $
• $ \frac{d}{dx} [\ln x] = \frac{1}{x} $
• $ \frac{d}{dx} [e^x] = e^x $

सारणिक सूत्र (Determinant Formulas)

• $ \det \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} = ad - bc $
• $ \det \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $

सारांश तालिका (Summary Table)

अंतिम टिप्पणियाँ (Final Notes)

• अभ्यास प्रश्न (Practice Questions): निम्नलिखित फलनों का अवकलन करें और दिए गए आव्यूहों के सारणिक परिकलित करें।
• अवधारणाओं का पुनरावलोकन (Review Concepts): श्रृंखला नियम, गुणनफल नियम और भागफल नियम की स्पष्ट समझ सुनिश्चित करें।
• अनुप्रयोग (Applications): ध्यान केंद्रित करें कि सारणिक और अवकलज वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में कैसे लागू होते हैं।