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विषय सूची

1. द्विघात समीकरण और असमिकाएँ
   1.1. द्विघात समीकरण के मूल
   1.2. समीकरण का निर्माण
   1.3. सामान्य संकल्पनाएँ
   1.4. विशेष स्थितियाँ
   1.5. असमिकाएँ
2. घन समीकरण
3. समीकरण का निर्माण
4. सामान्य संकल्पनाएँ
5. विशेष स्थितियाँ

1. द्विघात समीकरण और असमिकाएँ

1.1. द्विघात समीकरण के मूल

• परिभाषा: एक द्विघात समीकरण $ ax^2 + bx + c = 0 $ के रूप में होता है, जहाँ $ a \neq 0 $.
• मूल: समीकरण के हलों को मूल कहा जाता है।
• मूलों का योग और गुणनफल:
  • योग: $ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} $
  • गुणनफल: $ \alpha \beta = \frac{c}{a} $
• उदाहरण:
  • यदि $ \alpha = 2 $ और $ \beta = 3 $, तो समीकरण $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ है।
  • यदि $ \alpha = -1 $ और $ \beta = 4 $, तो समीकरण $ x^2 - 3x - 4 = 0 $ है।

1.2. समीकरण का निर्माण

• सामान्य रूप: यदि मूल $ \alpha $ और $ \beta $ हैं, तो समीकरण $ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 $ है।
• उदाहरण:
  • मूल $ \alpha = 2 $, $ \beta = 3 $:
    $$ x^2 - (2 + 3)x + (2 \times 3) = 0 \implies x^2 - 5x + 6 = 0 $$

1.3. सामान्य अवधारणाएँ

• विविक्तकर: $ D = b^2 - 4ac $.
  • यदि $ D > 0 $: दो भिन्न वास्तविक मूल।
  • यदि $ D = 0 $: एक वास्तविक मूल (दोहराया गया)।
  • यदि $ D < 0 $: दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल।
• मूलों की प्रकृति: विविक्तकर द्वारा निर्धारित होती है।

1.4. विशेष परिस्थितियाँ

• पूर्ण वर्ग त्रिपद:
  • उदाहरण: $ x^2 + 6x + 9 = 0 $, मूल $ x = -3 $ (दोहराया गया)।
• शून्य गुणांक वाला समीकरण:
  • यदि $ a = 0 $, समीकरण रैखिक हो जाता है: $ bx + c = 0 $.

1.5. असमिकाएँ

• द्विघात असमिकाएँ: हल करें $ ax^2 + bx + c > 0 $, $ ax^2 + bx + c < 0 $, इत्यादि।
• चरण:
  1. समीकरण $ ax^2 + bx + c = 0 $ के मूल ज्ञात करें।
  2. मूलों के आधार पर अंतराल निर्धारित करें।
  3. यह जाँचने के लिए प्रत्येक अंतराल का परीक्षण करें कि असमिका कहाँ मान्य है।
• उदाहरण:
  • हल करें $ x^2 - 5x + 6 > 0 $.
  • मूल: $ x = 2 $, $ x = 3 $.
  • अंतरालों का परीक्षण करें: $ (-\infty, 2) $, $ (2, 3) $, $ (3, \infty) $.
  • हल: $ x < 2 $ या $ x > 3 $.

2. घनीय समीकरण

• सामान्य रूप: $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $, जहाँ $ a \neq 0 $।
• मूल: एक घनीय समीकरण के तीन मूल (वास्तविक या सम्मिश्र) होते हैं।
• परिमेय मूल प्रमेय: संभावित परिमेय मूल $ \pm \frac{p}{q} $ होते हैं, जहाँ $ p $, $ d $ को विभाजित करता है और $ q $, $ a $ को विभाजित करता है।
• उदाहरण:
  • समीकरण: $ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 $।
  • संभावित मूल: $ \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 $।
  • वास्तविक मूल: $ x = 1, 2, 3 $।

3. एक समीकरण का निर्माण

• मूलों से: यदि मूल $ \alpha $ और $ \beta $ हैं, तो समीकरण होता है $ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0 $।
• गुणांकों से: यदि मूलों का योग $ S = \alpha + \beta $ और गुणनफल $ P = \alpha\beta $ है, तो समीकरण होता है $ x^2 - Sx + P = 0 $।
• उदाहरण:
  • योग $ S = 5 $, गुणनफल $ P = 6 $:
    $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$

4. सामान्य अवधारणाएँ

• द्विघात सूत्र:
  $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
• शीर्ष बिंदु (वर्टेक्स) परवलय का:
  • निर्देशांक: $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $.
• ग्राफ़: परवलय ऊपर की ओर खुलता है यदि $ a > 0 $, नीचे की ओर यदि $ a < 0 $.

5. विशेष मामले

• वास्तविक मूलों के बिना समीकरण: $ x^2 + 1 = 0 $, मूल $ x = \pm i $.
• एक वास्तविक मूल वाला समीकरण: $ x^2 + 2x + 1 = 0 $, मूल $ x = -1 $.
• सभी वास्तविक मूलों वाला समीकरण: $ x^2 - 5x + 6 = 0 $, मूल $ x = 2, 3 $.